某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获取最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量

题文

某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获取最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q （件）与实际销售价x （元）满足关系Q=39(2x2-29x+107)(5＜x＜7)198-6xx-5(7≤x＜8)
（1）求总利润（利润=销售额-成本）y（元）与实际销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）据题意，得y=39(2x2-29x+107)(x-5)  (5＜x＜7)198-6xx-5(x-5)                (7≤x＜8)[50-10(x-8)](x-5)          (x≥8)（4分）
=39•(2x3-39x2+252x-535)(5＜x＜7)6(33-x)      (7≤x＜8)-10x2+180x-650  (x≥8)（5分）
（2）由（1）得：当5＜x＜7时，y=39（2x³-39x²+252x-535）
y'=234（x²-13x+42）=234（x-6）（x-7）
当5＜x＜6时，y'＞0，y=f（x）为增函数
当6＜x＜7时，y'＜0，y=f（x）为减函数
∴当x=6时，f（x）_极大值=f（16）=195（8分）
当7≤x＜8时，y=6（33-x）∈（150，156]
当x≥8时，y=-10（x-9）²+160
当x=9时，y_极大=160（10分）
综上知：当x=6时，总利润最大，最大值为：195（12分）

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解析

39(2x2-29x+107)(x-5)  (5＜x＜7)198-6xx-5(x-5)                (7≤x＜8)[50-10(x-8)](x-5)          (x≥8)

考点

据考高分专家说，试题“某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.