某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站

题文

某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x³+x万元．设余下工程的总费用为y万元．
（1）试将y表示成关于x的函数；
（2）需要修建多少个增压站才能使y最小？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设需要修建k个增压站，则（k+1）x=120，即k=120x-1．
所以y=432k+(k+1)(x3+x)=432×(120x-1)+120x(x3+x)=51840x+120x2-312．
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤120．
故y与x的函数关系是y=51840x+120x2-312(0＜x≤120)．
（2）设f(x)=51840x+120x2-312(0＜x≤120)，则f′(x)=-51840x2+240x=240x2(x3-216)．
由f'（x）＞0，得x³＞216，
又0＜x≤120，则6＜x≤120．
所以f（x）在区间（6，120]内为增函数，在区间[0，6）内为减函数．
所以当x=6时，f（x）取最小值，此时k=120x-1=1206-1=19．
故需要修建19个增压站才能使y最小．

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解析

120x

考点

据考高分专家说，试题“某地需要修建一条大型输油管道通过120公.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.