已知函数f=2x+a•2-|x|满足f(log2(1+2))=2．若存在x0∈[1，2]使得不等式2xf+mf≥0成立，则实数m的

题文

已知函数f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）满足f(log2(1+2))=2．若存在x₀∈[1，2]使得不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0成立，则实数m的取值范围是（ ）A．[-5，+∞）B．[-25717，+∞）C．（-∞，-17]D．（-∞，-15] 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题设函数f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）满足f(log2(1+2))=2．
得2log2(1+2)+a×2-|log2(1+2)|=2    ①
∵log2(1+2)＞0
∴①式可变为1+2+a×11+2=1+2+a（1-2）=2
故有1+a+2（1-a）=2，a（1-2）=1-2，解得a=1
所以   f（x）=2^x+2^-|x|
当存在x₀∈[1，2]时，使不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0恒成立，即2^3x+2^-x+m（2^x+2^-x）≥0成立，
即2^4x+1+m（2^2x+1）≥0成立，即-m≤24x+122x+1=2^2x+1-2+222x+1≤25717
故m≥-25717
故应选B．

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解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x+a•2-|x|（.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.