用边长60cm的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转90°再焊接而成．问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？

题文

用边长60cm的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转90°再焊接而成．问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

设水箱底长为xcm，则高为60-x2cm．
由60-x2＞0x＞0得0＜x＜60．
设容器的容积为ycm³，则有y=x2•60-x2=-12x3+30x2．  …（2分）
求导数，有y′=-32x2+60x．   …（4分）
令y′=-32x2+60x=0，解得x=40（x=0舍去）．
当x∈（0，40）时，y'＞0；当x∈（40，60）时，y'＜0，…（6分）
因此，x=40是函数y=x2•60-x2的极大值点，也是最大值点．
所以，当水箱底边长取40cm时，才能使水箱的容积最大． …（8分）

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解析

60-x2

考点

据考高分专家说，试题“用边长60cm的正方形的铁皮做一个无盖水.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.