设f=3x，且f=18，g=3ax-4x．求g的解析式；讨论g在[0，1]上的单调性并用定义证明；

题文

设f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x（x∈R）．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论g（x）在[0，1]上的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）若方程g（x）-b=0在[-2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=3^x，且f（a+2）=18，
∴3^a+2=18⇒3^a=2（2分）
∵g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x
∴g（x）=2^x-4^x（2分）
（2）g（x）在[0，1]上单调递减．证明如下
设0≤x₁＜x₂≤1
g(x2)-g(x1)=2x2-4x2-2x1+4x1
=(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)（2分）
∵0≤x₁＜x₂≤1，
∴2x2＞2x1，1≤2x1＜2，1＜2x2≤2
∴2≤2x1+2x2＜4
∴-3＜1-2x1-2x2＜-1，
∴(2x2-2x1)(1-2x1-2x2)＜0
∴g（x₂）＜g（x₁）
∴g（x）在[0，1]上单调递减（2分）
（3）方程为2x -4x -b=0，
令t=2x x∈[-2，2]，则14≤t≤4（2分）
转化为方程为t-t²-b=0在[14，4]有两个不同的解．
∴b=t-t²即b=-(t-12)2+14，
当t=12时b取最大值14
当t=14时，b=316，当t=4时，b=-12
可得，当316≤b＜14时，方程有两不同解．（4分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=3x，且f（a+2）=18，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.