线段|BC|=4，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设|AM|=y，|AB|=x．求y=f的函数表达式及函数的定义域；设d=y+x

题文

线段|BC|=4，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设|AM|=y，|AB|=x．
（Ⅰ）求y=f（x）的函数表达式及函数的定义域；
（Ⅱ）设d=y+x-1，试求d的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当A、B、C三点不共线时，由三角形中线性质知2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²，
代入得2（2²+y²）=x²+（6-x）²，
又y≥0，得y=(x-3)2+5；…（4分）
当A，B，C三点共线时，由|AB|+|AC|=6＞|BC|=4，可知A在线段BC外侧，
由|6-x-x|=4，可得x=1或x=5，因此，当x=1或x=5时，有|AB|+|AC|=6，
同时也满足：2（|BM|²+|AM|²）=|AB|²+|AC|²．
当A． B．C不共线时，||AB|-|AC||＜|BC|=4，可知1＜x＜5，…（6分）
从而y=f(x)=(x-3)2+5定义域为[1，5]．…（7分）
（Ⅱ）∵y=(x-3)2+5，∴d=y+x-1=(x-3)2+5+x-1．
令t=x-3，由1≤x≤5知，t∈[-2，2]，d=t2+5+t+2，
两边对t求导得：dt=1+1t2+5≥1+-29＞0，
∴d关于t在[-2，2]上单调递增．
∴当t=2时，d_min=3，此时x=1；当t=2时，d_max=7．此时x=5．
故d的取值范围为[3，7]．…（15分）

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解析

(x-3)2+5

考点

据考高分专家说，试题“线段|BC|=4，BC中点为M，点A与B.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.