某种产品每件成本为6元，每件售价为x元，年销量为u万件，若已知5858-u与(x-214)2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．求年销售

题文

某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（x＞6），年销量为u万件，若已知5858-u与(x-214)2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
（1）求年销售利润y关于x的函数关系式．
（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设5858-u=k(x-214)2，
∵售价为10元时，年销量为28万件；
∴5858-28=k(10-214)2，解得k=2．
∴u=-2(x-214)2+5858=-2x²+21x+18．
∴y=（-2x²+21x+18）（x-6）=-2x³+33x²-108x-108．
（2）y'=-6x²+66x-108=-6（x²-11x+18）=-6（x-2）（x-9）
令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9
显然，当x∈（6，9）时，y'＞0当x∈（9，+∞）时，y'＜0
∴函数y=-2x³+33x²-108x-108在（6，9）上是关于x的增函数；
在（9，+∞）上是关于x的减函数．
∴当x=9时，y取最大值，且y_max=135．
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．

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解析

5858

考点

据考高分专家说，试题“某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.