若函数f满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f=f+f成立，则称函数f具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f不

题文

若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x₀不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（1）证明：函数f（x）=2^x具有性质M，并求出对应的x₀的值；
（2）已知函数h(x)=lgax2+1具有性质M，求a的取值范围 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：f（x）=2^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得：
2x0+1=2x0+2，（2分）
即：2x0=2，解得x₀=1．（5分）
所以函数f（x）=2^x具有性质M．（6分）
（2）h（x）的定义域为R，且可得a＞0．
因为h（x）具有性质M，所以存在x₀，
使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），
代入得：lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2．
化为2（x₀²+1）=a（x₀+1）²+a，
整理得：（a-2）x₀²+2ax₀+2a-2=0有实根．
①若a=2，得x0=-12．（8分）
②若a≠2，得△≥0，即a²-6a+4≤0，解得：a∈[3-5，3+5]，
所以：a∈[3-5，2)∪(2，3+5]．
（若未去掉a=2，扣1分）（14分）
综上可得a∈[3-5，3+5]．（16分）

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解析

a(x0+1)2+1

考点

据考高分专家说，试题“若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.