已知函数f(x)=2x2x+1证明：函数f不是偶函数；试判断函数f的单调性，并用定义证明．

题文

已知函数 f(x)=2x2x+1
（1）证明：函数f（x）不是偶函数；
（2）试判断函数f（x）的单调性，并用定义证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）由已知，函数f（x）的定义域为R．
f（-1）=2-12-1+1=13，
f（1）22+1=23．∴f（-1）≠f（1）
所以函数f（x）不是偶函数．
（2）设x₁，x₂是两个任意实数，且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，△y=f（x₂）-f（x₁）=2x22x2+1-2x12x1+1=2x2-2x1(2x2+1)(2x1+1)
因为0＜x₁＜x₂，所以2 x1+1＞0＞0，2 x2+1＞0，2 x2＞2 x1
所以△y＞0，
所以f（x）在R上是增函数．

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解析

2-12-1+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x2x+1（1）证明.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.