要使函数y=1+2x+a•4x在有y＞0恒成立，则实数a的取值范围是______．

题文

要使函数y=1+2^x+a•4^x在（x∈（-∞，1]）有y＞0恒成立，则实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设t=2^x，因为x∈（-∞，1]，所以0＜t≤2．
则原函数等价为y=1+t+at²，要使y＞0恒成立，即y=1+t+at²＞0，所以a＞-1-tt2=-(1t)2-1t．
设f(t)=-(1t)2-1t，则f(t)=-(1t)2-1t=-(1t+12)2+14，因为0＜t≤2，所以1t≥12，
所以y=-(1t+12)2+14≤-(12+12)2+14=-34，所以a＞-34．
故答案为：（-34．，+∞）．

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解析

-1-tt2

考点

据考高分专家说，试题“要使函数y=1+2x+a•4x在（x∈（.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.