某厂家拟对一商品举行促销活动，当该商品的售价为x元时，全年的促销费用为12万元；根据以往的销售经验，实施促销后的年销售量t=12(x-8

题文

某厂家拟对一商品举行促销活动，当该商品的售价为x元时，全年的促销费用为12（15-2x）（x-4）万元；根据以往的销售经验，实施促销后的年销售量t=12(x-8)2+ax-4万件，其中4＜x＜7.5，a为常数．当该商品的售价为6元时，年销售量为49万件．
（Ⅰ）求出a的值；
（Ⅱ）若每件该商品的成本为4元时，写出厂家销售该商品的年利润y万元与售价x元之间的关系；
（Ⅲ）当该商品售价为多少元时，使厂家销售该商品所获年利润最大． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵该商品的售价为6元时，年销售量为49万件，t=12(x-8)2+ax-4，
∴49=12（6-8）²+a2
∴a=2；
（Ⅱ）每件该商品的成本为4元时，y=（x-4）t-[12（15-2x）（x-4）]
∴y=（x-4）[12(x-8)2+2x-4]-[12（15-2x）（x-4）]
=12（x-4）（x-7）²+2（4＜x＜7.5）
（Ⅲ）y′=36（x-7）（x-5）
令y′＞0，4＜x＜7.5，可得4＜x＜5或7＜x＜7.5；令y′＜0，4＜x＜7.5，可得5＜x＜7；
∴当x=5时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为50
∴该商品售价为5元时，使厂家销售该商品所获年利润最大．

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解析

ax-4

考点

据考高分专家说，试题“某厂家拟对一商品举行促销活动，当该商品的.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.