随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注．已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年

题文

随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注．已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量T_n大致满足关系式：T_n=228a（1.01²ⁿ-1）（n≤24，n∈N^*）．
（1）求Q型车前n个月的销售总量S_n的表达式；
（2）比较两款车前n个月的销售总量S_n与T_n的大小关系；
（3）试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由．
（参考数据：54.5828≈1.09，lg1.09lg1.01≈8.66） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）Q型车每月的销售量{a_n}是以首项a₁=a，公比q=1+1%=1.01的等比数列；
前n个月的销售总量S_n=a(1.01n-1)1.01-1=100a（1.01ⁿ-1）（n∈N^*，且n≤24）．
（2）∵S_n-T_n=100a（1.01ⁿ-1）-228a（1.01²ⁿ-1）=100a（1.01ⁿ-1）-228a（1.01ⁿ-1）（1.01ⁿ+1）=-228a（1.01ⁿ-1）•（1.01ⁿ+3257）．
又1.01ⁿ-1＞0，1.01ⁿ+3257＞0，∴S_n＜T_n．
（3）记Q、R两款车第n个月的销量分别为a_n和b_n，
则a_n=a×1.01^n-1．
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=228a（1.01²ⁿ-1）-228a（1.01^2n-2-1）=228a×（1.01²-1）×1.01^2n-2=4.5828a1.01^2n-2．
b₁=4.5828a（或228×0.0201a），显然20%×b₁＜a₁．
当n≥2时，若a_n＜20%×b_n，
即a×1.01^n-1＜15×4.5828a×1.01^2n-2，
1.01^2（n-1）＞54.5828×1.01^n-1，1.01^n-1＞54.5828≈1.09，n-1＞lg1.09lg1.01≈8.66．
∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%．

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解析

a(1.01n-1)1.01-1

考点

据考高分专家说，试题“随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.