某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量x万件与年促销费用m万元满足x=3-km+1，如果不搞促销

题文

某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-km+1（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可知当m=0时，x=1（万件），
∴1=3-k⇒k=2．（2分）
∴x=3-2m+1．
每件产品的销售价格为1.5×8+16xx（元），（4分）
∴2010年的利润y=x•(1.5×8+16xx)-（8+16x+m）（6分）
=4+8x-m=4+8(3-2m+1)-m
=-[16m+1+(m+1)]+29（m≥0）．（8分）
（2）∵m≥0时，16m+1+（m+1）≥216=8，（12分）
∴y≤-8+29=21，当且仅当16m+1=m+1⇒m=3（万元）时，
y_max=21（万元）．（15分）
所以当该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．（15分）

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解析

2m+1

考点

据考高分专家说，试题“某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.