已知函数y=(14)x-(12)x+1的定义域为[-3，2]，求函数的单调区间；求函数的值域．

题文

已知函数y=(14)x-(12)x+1的定义域为[-3，2]，
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令t=(12)x，则y=t²-t+1=（t-12）²+34
当x∈[1，2]时，t=(12)x是减函数，此时t∈[14，12]，在此区间上y=t²-t+1是减函数
当x∈[-3，1]时，t=(12)x是减函数，此时t∈[12，8]，在此区间上y=t²-t+1是增函数
∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[-3，1]
（2）∵x∈[-3，2]，
∴t∈[14，8]
由（1）y=t²-t+1=（t-12）²+34
∴函数的值域为[34，57]

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=(14)x-(12)x+1的.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.