曲边梯形由曲线y=ex，y=0，x=1，x=5所围成，过曲线y=ex，x∈[1，5]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的

题文

曲边梯形由曲线y=e^x，y=0，x=1，x=5所围成，过曲线y=e^x，x∈[1，5]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点P的坐标是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设p点坐标为（m，e ^m），则切线的斜率为k=e^m
设切线方程：y=kx+b
把p点坐标代入直线方程可求的截距b=e^m-me^m＜0
切线方程为：y=e^mx+（1-m）e^m
那么切出来的梯形的面积为
S=12（|k+b|+|5k+b|）（5-1）=2（|2-m|+|6-m|）e ^m  1≤m≤5
①当1≤m≤2时，S=4（4-m）e ^m
②当2＜m≤5时，S=8e ^m
当1≤m≤2时，S=4（4-m）e ^m
求导得S'=4[（4-m）e^m-e ^m]=4（3-m）e ^m＞0 （1≤m≤2）
∴S=4（4-m）e ^m在[1，2]上单调增，且当m=2时有最大值Smax=8e²
当m＞2时，切线方程中令y=0，解得x=m-1＞1，无法构成梯形，
四条直线（y=0，x=1，x=5，过点P的切线）构成的两个三角形
综上所述，当m=2时，梯形面积有最大值8e ²，此时p点坐标为（2，e²）
故答案为（2，e²）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“曲边梯形由曲线y=ex，y=0，x=1，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.