一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x件．当x≤20时，年销售总收入为

题文

一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N^*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x-x²）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y（万元）与x（件）的函数关系式为______，该工厂的年产量为______件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资） 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意，年利润=年销售总收入-年总投资，则
当x≤20时，年利润y=（33x-x²）-（100+x）=-x²+32x-100；
当x＞20时，年利润y=260-（100+x）=160-x；
∴y=-x2+32x-100，x≤20160-x，x＞20；
当x≤20时，y=-x²+32x-100=-（x-16）²+156，∴x=16时，y取得最大值156万元；
当x＞20时，y=160-x＜140万元
∵156＞140，∴x=16时，利润最大值156万元
故答案为：y=-x2+32x-100，x≤20160-x，x＞20；16

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解析

-x2+32x-100，x≤20160-x，x＞20

考点

据考高分专家说，试题“一个工厂生产某种产品每年需要固定投资10.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.