已知某厂生产x件产品的总成本为f=25000+200x+140x2．要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？若产品以每件500

题文

已知某厂生产x件产品的总成本为f（x）=25000+200x+140x2（元）．
（1）要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设生产x件产品的平均成本为y元，则y=25000+200x+140x2x=25000x+200+140x(x＞0)（2分）y′=-25000x2+140（3分）
令y'=0，得x₁=1000，x₂=-1000（舍去）（4分）
当x∈（0，1000）时，y取得极小值．
由于函数只有一个极值点，所以函数在该点取得最小值，
因此要使平均成本最低，应生产1000件产品（6分）
（2）利润函数L(x)=500x-(25000+200x+x240)=300x-25000-140x2（8分）L′(x)=300-x20（9分）
令L'（x）=0，得x=6000（10分）
当x∈（0，6000）时，L'（x）＞0
当x∈（6000，+∞）时，L'（x）＜0∴x=6000时，L（x）取得极大值，即函数在该点取得最大值，
因此要使利润最大，应生产6000件产品（12分）

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解析

25000+200x+140x2x

考点

据考高分专家说，试题“已知某厂生产x件产品的总成本为f（x）=.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.