据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一．根据预测，从2003年起

题文

据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一．根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题．
（1）假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到0.01，参考数据：1.08¹⁰≈2.159）
（2）如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b₁表示2003年底该市堆积的垃圾数量，b₂表示2004年底该市堆积的垃圾数量…b_n表示2002+n年底该城市堆积的垃圾数量，①求b₁；②试归纳出b_n的表达式（不用证明）；③计算limn→∞b_n，并说明其实际意义． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设1993年该城市产生的新垃圾为x万吨．依题意，得
10+x+1.08x+1.08²x++1.08⁹x=50，
∴1-1.08101-1.08•x=40．
∴x=0.081.0810-1×40≈2.76万吨．
∴1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨．
（2）①b₁=50×80%+3=43（万吨）．
②∵b₁=50×80%+3=50×45+3，
b₂=45b₁+3=50×（45）²+3×45+3，
b₃=45b₂+3=50×（45）³+3×（45）²+3×45+3，
∴可归纳出b_n=50×（45）ⁿ+3×（45）^n-1+3×（45）^n-2++3×45+3
=50×（45）ⁿ+3×1-(45)n1-45=50×（45）ⁿ+15[1-（45）ⁿ]=35×（45）ⁿ+15．
③limn→∞b_n=limn→∞[35×（45）ⁿ+15]=15．
这说明，按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨．

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解析

1-1.08101-1.08

考点

据考高分专家说，试题“据某城市2002年末所作的统计资料显示，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.