某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医

题文

某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元（包括2万元和10万元）的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y（万元）随医疗总费用x（万元）增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．
（1）请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05（x²+4x+8）作为报销方案；
（2）若该单位决定采用函数模型y=x-2lnx+a（a为常数）作为报销方案，请你确定整数a的值．（参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数y=0.05（x²+4x+8）在[2，10]上是增函数，满足条件①，…（2分）
当x=10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③．…（4分）
但当x=3时，y=2920＜32，即y≥x2不恒成立，不满足条件②，
故该函数模型不符合该单位报销方案．…（6分）
（2）对于函数模型y=x-2lnx+a，设f（x）=x-2lnx+a，则f′（x）=1-2x=x-2x≥0．
所以f（x）在[2，10]上是增函数，满足条件①，
由条件②，得x-2lnx+a≥x2，即a≥2lnx-x2在x∈[2，10]上恒成立，
令g（x）=2lnx-x2，则g′（x）=2x-12=4-x2x，由g′（x）＞0得x＜4，
∴g（x）在（0，4）上增函数，在（4，10）上是减函数．
∴a≥g（4）=2ln4-2=4ln2-2．…（10分）
由条件③，得f（10）=10-2ln10+a≤8，解得a≤2ln10-2．…（12分）
另一方面，由x-2lnx+a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，
∴a≤2ln2，
综上所述，a的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，
所以满足条件的整数a的值为1．…（14分）

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解析

2920

考点

据考高分专家说，试题“某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.