为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量

题文

为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值0≤x≤30（单位：万元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成f（x）的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设商品降价x万元，则多卖的商品数为kx²，
若记商品在一个星期的获利为f（x），
则依题意，有f（x）=（30-x-9）（432+kx²）=（21-x）（432+kx²），
又，由已知条件：24=k•2²，得 k=6，
所以，f（x）=-6x³+126x²-432x+9072，x∈[0，30]．
（2）根据（1），得 f'（x）=-18x²+252x-432=-18（x-2）（x-12）
作出以下表格：
x[0，2）2（2，12）12（12，30]f'（x）-0+0-f（x）↘极小↗极大↘所以，当x=12时，f（x）达到极大值．因为f（0）=9072，f（12）=11264，
即定价为 30-12=18万元时，能使一个星期的商品销售利润最大．

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解析

x[0，2）2（2，12）12（12，30]f'（x）-0+0-f（x）↘极小↗极大↘

考点

据考高分专家说，试题“为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.