设函数f=exa+aex，是R上的偶函数且a＞0．求a的值；判断f在上的单调性．

题文

设函数f（x）=exa+aex，（e为无理数，且e≈2.71828…）是R上的偶函数且a＞0．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解 （1）∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-1）=f（1），∴e-1a+ae-1=ea+ae，即  e-1a+ae-1=ea+ae，即1ae-ae=ea-ae．
∴1e(1a-a)=e（1a-a），∴1a-a=0，∴a²=1．
又a＞0，∴a=1．
（2）由上可得f（x）=e^x+e^-x．
由于函数f（x）的导数f′（x）=e^x-1ex，当x＞0时，e^x＞1，∴f′（x）=e^x-1ex＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

e-1a

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=exa+aex，（e为无.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.