某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元时，一年的产量为2万件．但为了保护环境，用于

题文

某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11-x）²万件．但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a（1≤a≤3）．若该企业所生产的产品全部销售．
（1）求该企业一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；
（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意，利润函数L（x）=一件产品的利润×一年的产量-污染治理费用，
代入数据得：
利润函数L（x）=（x-3）（11-x）²-a（11-x）²=（x-3-a）（11-x）²，x∈[7，10]．
（2）对利润函数求导，得L′（x）=（11-x）²-2（x-3-a）（11-x）=（11-x）（11-x-2x+6+2a）
=（11-x）（17+2a-3x）；
由L′（x）=0，得x=11（舍去）或x=17+2a3；
因为1≤a≤3，所以193≤17+2a3≤233；
所以，①当193≤17+2a3≤7，即1≤a≤2时，L′（x）在[7，10]上恒为负，则L（x）在[7，10]上为减函数，
所以[L（x）]max=L（7）=16（4-a）
②当7＜17+2a3≤233，即2＜a≤3时，L′（x）在（7，17+2a3）上为正，L（x）是增函数；L′（x）在（17+2a3，10]上为负，L（x）是减函数，所以[L（x）]max=L（17+2a3）=427（8-a）³．
即当1≤a≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16（4-a）万元．
当2＜a≤3时，则每件产品出厂价为17+2a3元时，年利润最大，为427（8-a）³万元．

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解析

17+2a3

考点

据考高分专家说，试题“某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.