某公司生产2010年上海世博会的科技纪念品，已知生产x万件纪念品的收入函数为R(x)=8x(0＜x＜9)-x2+16x-39(9≤x≤15).（单位

题文

某公司生产2010年上海世博会的科技纪念品，已知生产x（x∈N^*）万件纪念品的收入函数为R(x)=8x  (0＜ x＜9)-x2+16x-39  (9 ≤ x≤ 15).（单位：万元），其成本由固定成本和可变成本两部分构成，其中固定成本为5万元，可变成本与生产的纪念品的件数x成正比，又知该公司生产10万件产品时，花费的可变成本为20万元．（利润=收入-成本）
（1）求利润函数P（x）；
（2）当生产多少万件纪念品时，该公司能够取得最大利润？并求出最大利润． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设该公司生产纪念品的可变成本为S（x）由题意可设 S（x）=kx（k＞0）
又知该公司生产10万件产品时，花费的可变成本为20万元
所以  20=10k得 k=2
由其固定成本为5万元，得
该公司的成本函数C（x）=2x+5…（3分）
因为收入函数为R(x)=8x  (0＜ x＜9)-x2+16x-39  (9 ≤ x≤ 15).
所以，当0＜x＜9时，利润函数P（x）=R（x）-C（x）=8x-(2x+5)=-2x+8x-5
当9≤x≤15时，利润函数P（x）=R（x）-C（x）=（-x²+16x-39）-（2x+5）=-x²+14x-44
所以该公司生产纪念品的利润函数为P(x)=-2x+8x-5  (0＜ x＜9，x∈N*)-x2+14x-44  (9 ≤ x≤ 15，x∈N*).…（8分）
（2）当0＜x＜9时，P(x)=-2x+8x-5=-2(x-2)2+3
因为0＜x＜9，x∈N^*
所以，当x=2即x=4时，P（x）的最大值为3万元；…（11分）
当9≤x≤15时，P（x）=-x²+14x-44=-（x-7）²+5在区间[9，15]为减函数，
当x=9时，P（x）=1…（14分）
所以，当9≤x≤15时，P（x）最大值为1万元．
答：当x=4万件时，利润的最大值为3万元．…（16分）

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解析

8x  (0＜ x＜9)-x2+16x-39  (9 ≤ x≤ 15).

考点

据考高分专家说，试题“某公司生产2010年上海世博会的科技纪念.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.