题文
已知一个长方体交于一顶点的三条棱长之和为1，其表面积为1627（1）将长方体的体积V表示为其中一条棱长x的函数关系，并写出定义域；
（2）求体积的最大、最小值；
（3）求体积最大时三棱长度． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）设三条棱长分别为：x，y，z，则x+y+z=1，2xy+2yz+2xz=1627…（1分）得yz=827-x(y+z)=827-x(1-x)，
∴V=x(827-x+x2)=x3-x2+827x…（4分）
又∵y+z=1-x，yz=827-x(1-x)，
∴y、z是方程m2-(1-x)m+827-x+x2=0的两根△≥01-x＞0827-x+x2＞0得19≤x≤59
∴V=x3-x2+827x（ 19≤x≤59）．…（6分）
（2）V′=3x2-2x+827=0，得x=29或x=49…（8分）
当x=19或x=49时，V有最小值16729，
当x=29或x=59时，V有最大值20729．…（10分）
（3）当V有最大值时，三棱长分别为：59，29，29． …（12分）
点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习
解析
1627考点
据考高分专家说，试题“已知一个长方体交于一顶点的三条棱长之和为.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
