已知函数g=x-2+1的图象恒过定点A，且点A又在函数f(x)=log3(x+a)的图象．求实数a的值；解不等式f＜

题文

已知函数g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f(x)=log3(x+a)的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＜log 3a；
（3）|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，
∴A（2，2）…2分
又点A在函数f（x）上，
∴f（2）=log3(2+a)=2，
∴2+a=(3)2=3，
∴a=1…4分
（2）f（x）＜log 3a⇔log3(x+1)＜log31=0…6分
⇒0＜x+1＜1⇒-1＜x＜0
⇒不等式的解集为{x|-1＜x＜0}…8分
（3）|g（x+2）-2|=2b
⇒|2^x+1-2|=2b⇒|2^x-1|=2b…10分
若x＜0，0＜2^x＜1，
∴-1＜2^x-1＜0；
∴0＜|2^x-1|＜1；
若x＞0，则2^x＞1，
∴2^x-1＞0；
∴0＜2b＜1，故b的取值范围为（0，12）…12分

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数g（x）=（a+1）x-2+1（.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.