设函数f=ax-x若a=e，求f的单调区间和极值；若函数y=f在全体实数R上恰有4个零

题文

设函数f（x）=a^x-x（a＞0，a≠1）
（1）若a=e（e是自然对数的底数），求f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数y=f（|x|）在全体实数R上恰有4个零点，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）=e^x-x，则f′（x）=e^x-1…（2分）
当f′（x）＞0时，解得x＞0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当f′（x）＜0时，解得x＜0，f（x）在（-∞，0]上单调递减．…（2分）
所以x=0是极小值点，f_极小值=f（0）=1…（2分）
（2）函数y=f（|x|）是偶函数，要使它在全体实数R上恰有4个零点，只须y=f（x）在（0，+∞）上有2个零点，…（2分）
要使方程a^x=x在（0，+∞）有2解，则有lna=lnxx在（0，+∞）有2解，…（2分）
设g(x)=lnxx，则g′(x)=1-lnxx2…（1分）
当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，且0＜g(x)＜1e
当0＜x≤e时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，且g(x)≤1e…（4分）
根据图象可知0＜lna＜1e，
∴1＜a＜e1e…（2分）

点击查看指数函数模型的应用知识点讲解,巩固学习

解析

lnxx

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ax-x（a＞0，a≠1.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.