已知f(x)=a-23x+1(a∈R)：证明f是R上的增函数；是否存在实数a使函数f为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．

题文

已知f(x)=a-23x+1(a∈R)：
（1）证明f（x）是R上的增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：对任意x∈R都有3^x+1≠0，∴f（x）的定义域是R，
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=23x2+1-23x1+1=2(3x1-3x2)(3x1+1)(3x2+1)
∵y=3^x在R上是增函数，且x₁＜x₂
∴3^x₁＜3^x₂且（3^x₁+1）（3^x₂+1）＞0⇒f（x₁）-f（x₂）＜0⇒f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函数．
（2）若存在实数a使函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0⇒a=1
下面证明a=1时f(x)=1-23x+1是奇函数
∵f(-x)=1-23-x+1=1-2•3x1+3x=1-2(3x+1)-21+3x=-1+21+3x=-f(x)
∴f（x）为R上的奇函数
∴存在实数a=1，使函数f（x）为R上的奇函数．

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解析

23x2+1

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=a-23x+1(a∈R)：.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.