已知函数f=-2a+12x+2a，判断函数f的单调性并证明；若f＞-2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．

题文

已知函数f（x）=-2a+12x+2a，
（1）判断函数f（x）的单调性并证明；
（2）若f（x）＞-2^x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）在R上是增函数．…..（2分）
证明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）=-2a+12x1+2a--2a+12x2+2a=2a+1(2x1-2x2)(2x1+2a)(2x2+2a)＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）…..（4分）
所以函数f（x）在R上是增函数．…..（6分）
（2）因为-2a+12x+2a≥-2x
所以（2^x）²+2^a•2^x-2•2^a≥0，…（8分）
令t=2^x，则t≥2^a，
h（t）=t²+2^a•t-2•2^a≥0，
又h（t）在t∈[2^a，+∞）上是增函数，…．（10分）
所以(h(t))min=h(2a)=2(22a-2a)≥0 ， 2a≥1，
所以a≥0…．．（14分）

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解析

-2a+12x1+2a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-2a+12x+2a，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.