某厂在一个空间容积为2000m3的密封车间内生产某种化学药品．开始生产后，每满60分钟会一次性释放出有害气体am3，并迅速扩散到空气中．每次释放有害气体后，车间

题文

某厂在一个空间容积为2000m³的密封车间内生产某种化学药品．开始生产后，每满60分钟会一次性释放出有害气体am³，并迅速扩散到空气中．每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r%，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作．安全生产条例规定：只有当车间内的有害气体总量不超过1.25am³时才能正常进行生产．
（Ⅰ）当r=20时，该车间能否连续正常生产6.5小时？请说明理由；
（Ⅱ）能否找到一个大于20的数据r，使该车间能连续正常生产6.5小时？请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵第一次释放有害气体am³，
∴第二次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体（a+ar%）m³，第三次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体[a+（a+ar%）r%]m³，…（2分）
∵6.5小时共释放出6次有害气体，且有害气体的含量逐次递增，
∴要使该车间能连续正常生产，在最后一次释放有害气体后（净化之前），车间内有害气体总量不得超过1.25am³，
即必须要有a+ar%+a（r%）²+…+a（r%）⁵≤1.25a，
即a•1+(r%)61-r%≤1.25a．…（4分）
∵当r=20时，1-(0.2)61-0.2＜11-0.2=10.8=1.25，
∴当r=20时，该车间能连续生产6.5小时．…（6分）
（Ⅱ）设r%=0.2+x（x＞0）满足条件，即要有1-(0.2+x)61-(0.2+x)≤1.25，
即（0.2+x）⁶≥1.25•x．（*）…（8分）
∵（0.2+x）⁶=0.2⁶+6（0.2）⁵x+…＞0.2⁶+6（0.2）⁵x，
要使（*）成立，只要0.2⁶+（0.2）⁵•16x-1.25x≥0即可，…（10分）
∴可取x=(0.2)61.25-6(0.2)5＞0，
∴取r=20+100•(0.2)61.25-6(0.2)5，就可使该车间连续生产6.5小时．…（12分）

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解析

1+(r%)61-r%

考点

据考高分专家说，试题“某厂在一个空间容积为2000m3的密封车.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.