已知函数f(x)=ax-1ax+1，设函数g(x)=f(x-12)+1．求证：f是奇函数；求g+g及g(0)

题文

已知函数f(x)=ax-1ax+1（a＞0且a≠1），设函数g(x)=f(x-12)+1．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求g（x）+g（1-x）及g( 0 )+g( 14 )+g( 12 )+g( 34 )+g( 1 )的值；
（3）是否存在正整数a，使不等式a•g(n)g(1-n)＞n2对一切n∈N^*都成立，若存在，求出正整数a的最小值；不存在，说明理由；
（4）结合本题加以推广：设F（x）是R上的奇函数，请你写出一个函数G（x）的解析式；并根据第（2）小题的结论，猜测函数G（x）满足的一般性结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）任取x∈R，于是f(-x)=a-x-1a-x+1=1-ax1+ax=-f(x)，所以f（x）是奇函数． …（3分）
（2）由（1）知f（0）=0，所以g(12)=f(0)+1=1，…（4分）
g(x)+g(1-x)=f(x-12)+f(-x+12)+2=2．…（6分）g( 0 )+g( 14 )+g( 12 )+g( 34 )+g( 1 )=g( 0 )+g( 1 )+g( 14 )+g( 34 )+g( 12 )=2+2+1=5．
（3）假设存在正整数a，使a•g(n)g (1-n)＞n2对一切n∈N^*都成立．
由g(n)=2anan+a，g(1-n)=1-g(n)=2aa+an，得a•g(n)g (1-n)=a•2an2a=an．…（10分）
当a=1和a=2时，不等式aⁿ＞n²显然不成立．…（11分）
猜想当a≥3时，aⁿ≥3ⁿ＞n²．…（12分）
下面证明3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立：
①当n=1时，显然3＞1．
②当n≥2时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+2C_n¹+4C_n²+…+C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n+2n（n-1）=2n²+1＞n²成立．（14分）
则3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整数a=3．…（15分）
证法二：
①当n=1时，3＞1，当n=2时，9＞4，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时，3^k＞k²，
则当n=k+1时，3^k+1=3×3^k＞3k²=k²+k²+k²＞k²+2k+1=（k+1）²，不等式也成立．…（14分）
则3ⁿ＞n²对一切n∈N^*都成立．所以存在最小正整数a=3．…（15分）
（4）如设F（x）=x³，G（x）=（x-a）³+b等均可．…（16分）
则函数G（x）满足的一般性结论为G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．…（18分）
形如设G（x）=F（x-a）+b．G（x）满足的性质为：G（a）=b，G（x）+G（2a-x）=2b．
或G(x)=F( x-12 )+b则G( 0 )+G( 1n )+G( 2n )+G( 3n )+…+G( 1 )=(n+1)b等…（18分）

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解析

a-x-1a-x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=ax-1ax+1（a＞.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.