已知函数f=2x+1定义在R上．若存在，使得f+f=a成立，求实数a的取值范围；若可以表示为一个偶函数g与一个奇函数h（x

题文

已知函数f（x）=2^x+1定义在R上．
（1）若存在，使得f（x）+f（-x）=a成立，求实数a的取值范围；
（2）若可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），求出p（t）的解析式；
（3）若对任意x∈[1，2]都有p（t）≥m²-m-1成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意有a=2^x+1+2^-x+1，
即关于x的方程a=2•2x+22x有解．…（2分）
而2•2x+22x≥22•2x•22x=4，当且仅当2•2x=22x，即x=0时等号成立，故实数a的取值范围是[4，+∞）．（4分）
（2）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）为偶函数，h（x） 为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①②得g(x)=f(x)+f(-x)2，h(x)=f(x)-f(-x)2（5分）
∵f（x）定义在R上，
∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵g(-x)=f(-x)+f(x)2=g(x)，h(-x)=f(-x)-f(x)2=-h(x)．∴满足g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，
又∵f（x）=2^x+1，
∴g(x)=f(x)+f(-x)2=2x+1+2-x+12=2x+12xh(x)=f(x)-f(-x)2=2x+1-2-x+12=2x-12x．（7分）
由2x-12x=t，则t∈R，平方，
得t2=(2x-12x)2=22x+122x-2，∴g(2x)=22x+122x=t2+2，
故p（t）=t²+2mt+m²-m+1．（9分）
（3）∵t=h（x）在x∈[1，2]上是增函数，（10分）
∴32≤t≤154．（12分）
∴p（t）=t²+2mt+m²-m+1≥m²-m-1对于t∈[32，154]恒成立，
∴m≥-t2+22t=-(t2+1t)对于t∈[32，154]恒成立（14分）
令φ(t)=-(t2+1t)，则t2+1t≥2，
当且仅当t=2时等号成立，而2∉[32，154]，
∴函数φ(t)=-(t2+1t)在t∈[32，154]上是减函数，
∴φ(t)max=φ(32)=-1712，故m≥-1712．（16分）

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解析

22x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.