欲建一个圆柱形无盖的净水池，要求它的容积为1000πm3，问如何选择它的直径和高，才能使所用的材料最省，最省为多少？

题文

欲建一个圆柱形无盖的净水池，要求它的容积为1000πm³，问如何选择它的直径和高，才能使所用的材料最省，最省为多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

欲使材料最省，即为表面积最小，设圆柱面半径为R（m），高为h（m）
则h=1000R2…（2分）
材料的面积S(R)=πR2+2πR×1000R2=πR2+2000πR（R＞0）…（6分）
求导有S′(R)=2πR-2000πR2
令S'（R）=0得R=10，此时h=10，
得到函数在（0，10）上单调递减，在（10，+∞）上单调递增，
∴当R=h=10时，所用的材料最省，此时的表面积是300πm²，
答：当R=h=10时，所用的材料最省，此时的表面积是300πm²．

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解析

1000R2

考点

据考高分专家说，试题“欲建一个圆柱形无盖的净水池，要求它的容积.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.