已知函数f(x)=(13)x．若f-1的定义域为R，求实数m的取值范围；当x∈[-1，1]时，求函数y=f2-2af

题文

已知函数f(x)=(13)x．
（1）若f^-1（mx²+mx+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f²（x）-2af（x）+3的最小值g（a）．
（3）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f-1(x)=log13x（x＞0），…（2分）
∴f-1(mx2+mx+1)=log13(mx2+mx+1)，
由题知，mx²+mx+1＞0恒成立，
∴1⁰ 当m=0时，1＞0满足题意；…（3分）
2⁰ 当m≠0时，应有m＞0△=m2-4m＜0⇒0＜m＜4，
∴实数m的取值范围为0≤m＜4．…（5分）
（2）∵x∈[-1，1]，∴(13)x∈[13，3]，
y=f²（x）-2af（x）+3=[(13)x]2-2a(13)x+3=[(13)x-a]2+3-a2，…（7分）
当a＜13时，ymin=g(a)=289-2a3；
当13≤a≤3时，y_min=g（a）=3-a²；
当a＞3时，y_min=g（a）=12-6a．
∴g(a)=289-2a3   (a＜13)3-a2      (13≤a≤3)12-6a    (a＞3)．        
（3）∵m＞n＞3，∴g（x）=12-6x，在（3，+∞）上是减函数．
∵g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，
∴12-6m=n212-6n=m2，①②…（12分）
②-①得：6（m-n）=（m+n）（m-n），
∵m＞n＞3，∴m+n=6．但这与“m＞n＞3”矛盾．
∴满足题意的m、n不存在．                 …（14分）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(13)x．（1）若f.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.