已知函数f(x)=1+a•(12)x+(14)x当a=1时，求函数f在上的值域；若函数f在[0，+∞）上不等式|f|≤

题文

已知函数f(x)=1+a•(12)x+(14)x
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上不等式|f（x）|≤3恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=1时，f(x)=1+(12)x+(14)x，
∵f（x）在（-∞，0）上递减，∴f（x）＞f（0），
∴f（x）∈（3，+∞）．
（2）|f（x）|≤3即-3≤f（x）≤3⇔-4-(14)x≤a(12)x≤2-(14)x
⇔-4•2^x-(12)x≤a≤2•2^x-(12)x，
∵2•2^x-(12)x在[0，+∞）上单调递增，
∴2•2^x-(12)x≥1；
令g（x）=⇔-4•2^x-(12)x（x≥0），g′（x）=-4ln2•2^x-(12)xln2=ln2(1-4•2x)2x＜0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（0）=-5．
由-4•2^x-(12)x≤a≤2•2^x-(12)x恒成立，得-5≤a≤1．
所以实数a的取值范围为[-5，1]．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1+a•(12)x+(.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.