已知函数f(x)=x+1-aa-x(a∈R)，证明函数y=f的图象关于点成中心对称图形；当x∈[a+1，a+2]时，求证：f

题文

已知函数f(x)=x+1-aa-x(a∈R)，
（1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
（2）当x∈[a+1，a+2]时，求证：f（x）∈[-2，-32]；
（3）我们利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，xn=f（xn-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．
（i）如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn}，求实数a的取值范围；
（ii）如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的值 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设P（x_o，y_o）是函数y=f（x）图象上一点，则y_o=xo+1-aa-xo，
点P关于（a，-1）的对称点P'（2a-x0，-2-y0）．
∵f(2a-xo)=2a-x0+1-aa-2a+x0=a-x0+1x0-a，-2-yo=a-x0+1x0-a
∴-2-y0=f（2a-x0）．即P′点在函数y=f（x）的图象上．
所以，函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形.(2)∵[f(x)+2][f(x)+32]=a-x+1a-x•a+2-x2(a-x)=(x-a-1)(x-a-2)2(a-x)2.
又x∈[a+1，a+2]，∴（x-a-1）（x-a-2）≤0.2（a-x）²＞0，
∴[f(x)+2][f(x)+32]≤0，∴-2≤f(x)≤-32.
（3）（i）根据题意，只需x≠a时，f（x）=x有解.即x+1-aa-x=x有解，
即x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解
．∴①△＞0或②△=0并且x≠a，
①由△＞0得a＜-3或a＞1，②由△=0得a=-3或a=1，
此时，x分别为-2或0．符合题意．综上，a≤-3或a≥1．
（ii）根据题意，知：x≠a时，x+1-aa-x=a无解，
即x≠a时，（1+a）x=a2+a-1无解，由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
所以，对于任意x∈R．（1+a）x=a2+a-1无解．∴a=-1．

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解析

xo+1-aa-xo

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+1-aa-x(a∈.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.