是否存在函数f，使下列三个条件：①f＞0，x∈N；②f=f•f，a，b∈N；③f=4．同时成立？若存在，求出f的解

题文

是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②f（a+b）=f（a）•f（b），a，b∈N；③f（2）=4．同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（x）＞0，x∈N且f（a+b）=f（a）•f（b），a，b∈N
∴可设f（x）=c^x（c＞0，c≠1，x∈N），满足c^x＞0且c^a+b=c^a•c^b
∵f（2）=4
∴c²=4⇒c=2（舍负）
所以存在f（x）=2^x，符合题设的三个条件．
以下用数学归纳法证明，对任意的x∈N时，都有f（x）=2^x成立．
（1）当x=1时，f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=[f（1）]²=4，
又∵x∈N时，f（x）＞0，
∴f（1）=2=2¹，结论正确．
（2）假设x=k（k∈N^*）时，有f（k）=2^k，
则x=k+1时，f（k+1）=f（k）•f（1）=2^k•2=2^k+1，
∴x=k+1时，结论正确．
综上所述，对于一切自然数x，都有f（x）=2^x成立．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“是否存在函数f（x），使下列三个条件：①.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.