某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：方案一：建设两个日处理污水量分别为xl和x2的污水厂，且3≤xl≤5，3≤x2≤5．方案二：建设一

题文

某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：
方案一：建设两个日处理污水量分别为x_l和x₂（单位：万m³/d）的污水厂，且3≤x_l≤5，3≤x₂≤5．
方案二：建设一个日处理污水量为x_l+x₂（单位：万m³/d）的污水厂．
经调研知：
（1）污水处理厂的建设费用P（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m³/d）的关系为P=40x²；
（2）每处理1m³的污水所需运行费用Q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m³/d）的关系为：Q= 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）如果仅考虑建设费用，若使用方案一：P₁=40x21+40x22，
若使用方案二：P2=40(x1+x2)2=40x21+40x22+80x1x2
∵3≤x_l≤5，3≤x₂≤5，∴P₂＞P₁．
故使用方案一更经济．
（Ⅱ）由题意，运行n年后，Q1=40x21+0.6x1×250n+40x22+0.6x2×250n，
Q2=40(x1+x2)2+0.4(x1+x2)×250n，
由Q₁≥Q₂，化为0.2（x₁+x₂）×250n≥80x₁x₂，
∵x₁+x₂=8，∴5n≥x₁x₂，∴5n≥x₁（8-x₁）．
∵x₁∈[3，5]，∴x1(8-x1)=-x21+8x1=-(x1-4)2+16，∴x₁（8-x₁）∈[15，16]，
∴当x₁=3或5时，即x₁（8-x₁）=15，经过3年方案二与方案一的总费用相等．
当x₁∈（3，5]时，x₁（8-x₁）∈（15，15]，只需经过4年方案二的总费用就少于方案一的总费用．

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解析

x21

考点

据考高分专家说，试题“某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.