已知当x为何值时，取得最小值？证明你的结论；设f在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围。

题文

（12分）已知

解析

（1）对函数

求导数得


令


解得


当x变化时，



的变化如下表





















+
0
-
0
+



递增
极大值
递减
极小值
递增


处取得极大值，在x=x₂处取得极小值。
当

时，

上为减函数，在

上为增函数
而当

，
当x=0时，


所以当

时，f（x）取得最小值
（II）当

时，

上为单调函数的充要条件是


即


于是

在[-1，1]上为单调函数的充要条件是


即a的取值范围是

考点

据考高分专家说，试题“（12分）已知（1）当x为何值时，取得最.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.