设f (x) 是定义在 [－1,1] 上的偶函数，f (x) 与g(x) 的图象关于x =" 1" 对称，且当x Î [2,3] 时，

题文

（满分12分）设f (x) 是定义在 [－1,1] 上的偶函数，f (x) 与g(x) 的图象关于x =" 1" 对称，且当x Î [2,3] 时，g(x) = a (x－2)－2 (x－2) ³（a 为常数）.

解析

(I) ∵    f (x) 与g(x) 的图象关于直线x =" 1" 对称，
∴    f (x) = g(2－x) ．                  1分
∴    当xÎ [－1,0] 时，2－xÎ [2,3]，
∴    f (x) = g(2－x) = －ax + 2x ³   ．    2分
又∵      f (x) 为偶函数，
∴    xÎ [0,1] 时，－xÎ [－1,0]，
∴    f (x) = f (－x) = ax－2x ³．         3分
∴    f (x) =    ．  4分
(II)   ∵    f (x) 为 [0,1] 上的增函数，
∴    f’(x) = a－6x ²≥0 Þa≥6x ² 在区间 [0,1] 上恒成立.         6分
∵    xÎ [0,1] 时，6x ²≤6 ，      7分
∴    a≥6，即aÎ [6,+¥) .     8分
(III)  由f (x) 为偶函数，故只需考虑xÎ [0,1]，
由f’(x) =" 0" 得x = ，  9分
由f () =" 4" Þa =" 6" ，     10分
此时x = 1，       11分
当aÎ (－6,6) 时，f (x) 的最大值不可能为 4 .     12分

考点

据考高分专家说，试题“（满分12分）设f (x) 是定义在 [.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.