某光学仪器厂有一条价值为万元的激光器生产线，计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值. 经过市场调查，产品的增加值万元与技

题文

（本小题满分14分）某光学仪器厂有一条价值为

万元的激光器生产线，计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值. 经过市场调查，产品的增加值

万元与技术改造投入

万元之间满足：①

与

成正比；②当

时，

，并且技术改造投入满足

，其中

为常数且

.
（I）求

表达式及定义域；
（II）求技术改造之后，产品增加值的最大值及相应

的值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（I）设

.
由

时，

可得

.
所以

.          ………………………………………………………3分
由

解得

.
所以函数

的定义域为

.      ………………………………6分
（II）由（I）知

，所以

.
令

得

.      ………………………………………………………………8分
因为

，所以

，即

.
当

时，

，函数

是增函数；
当

时，

，函数

是减函数.   ……………………………11分
所以当

时，函数

取得最大值，且最大值是

.  …………………..13分
所以，

时，投入

万元最大增加值

万元.    ………………………14分

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）某光学仪器厂有一条价.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.