题文
设函数
,
.
（Ⅰ）当
时，
在
上恒成立，求实数
的取值范围;
（Ⅱ）当
时
，若函数
在
上恰有两个不同零点，求实数
的取值范围;
（Ⅲ）是否存在实数
，使函数
和函数
在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出
的值，若不存在，说明理由。 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）由,
可得
即
记
，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于
.
求得
当
时;
;当
时，
故
在x=e处取得极小值，也是最小值，
即
，故
.
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。
令g(x)=x-2lnx,则
当
时，
,当
时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在
上是单调递增函数。
故
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)
（3）存在m=
，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。
若
，则
，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;
若
,由
可得2x2-m>0，解得x>
或x<-
（舍去）
故
时，函数的单调递增区间为(
,+∞)
单调递减区间为(0,
)而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,
)，单调递增区间是(
，+∞)
故只需
=
，解之得m=
即当m=
时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“设函数,.（Ⅰ）当时，在上恒成立，求实数.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
