题文
（本小题满分14分）已知
，
，
.
（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；
（Ⅱ）求
在点
处的切线与直线
及曲线
所围成的封闭图形的面积；
（Ⅲ）是否存在实数
，使
的极大值为3？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）当
.…（1分）
……（3分）
∴
的单调递增区间为（0，1），
单调递减区间为：
，
. ……（4分）
（2）切线的斜率为
，
∴切线方程为
.……（6分）
所求封闭图形面积为
. ……（8分）
（3）
， ……（9分）
令
. ……（10分）
若
，
，则
在R上单调递减，不存在极大值，舍去；
若
列表如下：
x
(－∞，0)
0
（0，2－a）
2－a
(2－a，+ ∞)
－
0
+
0
－
↘
极小
↗
极大
↘
由表可知，
. ……（12分）
设
，
∴
上是增函数，……（13分）
∴
，即
，
∴不存在实数a，使
极大值为3. ……（14分）
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解析
x(－∞，0)
0
（0，2－a）
2－a
(2－a，+ ∞)
－
0
+
0
－
↘
极小
↗
极大
↘
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知，，.（Ⅰ）当时.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
