设函数的图象经过原点，在其图象上一点P处的切线的斜率记为.若方程=0有两个实根分别为-2和4,求的表达式；若在区间[-1,3]上

题文

（13分）设函数

的图象经过原点，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为

.
（1）若方程

=0有两个实根分别为-2和4,求

的表达式；
（2）若

在区间[-1,3]上是单调递减函数,求

的最小值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（Ⅰ）因为函数

的图象经过原点,所以

,则

.
根据导数的几何意义知

,………4分
由已知—2、4是方程

的两个实数,
由韦达定理，

    …………6分
（Ⅱ）

在区间[—1，3]上是单调减函数，所以在[—1，3]区间上恒有


,即

在[—1，3]恒成立,
这只需满足

即可,也即

…………10分
而

可视为平面区域

内的点到原点距离的平方，其中点（—2，—3）距离原点最近，
所以当

时,

有最小值13         13分

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（13分）设函数的图象经过原点，在其图象.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.