已知，且。求与的关系；若在其定义域内为增函数，求的取值范围；证明：(提示：需要时可利用恒等式：)

题文

（本题满分15分）
已知

，且

（

为自然对数的底数）。
（1）求

与

的关系；
（2）若

在其定义域内为增函数，求

的取值范围；
（3）证明：


(提示：需要时可利用恒等式：

) 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题意





（2）由（1）知：

（x>0）



令h(x)=

x²－2x+

.要使g(x)在（0，+∞）为增函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：
h(x)≥0恒成立.


即

x²－2x+

≥0


上恒成立
又


所

以


（3）证明：证：lnx－x+1≤0  (x>0)，
设

.
当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数；
当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函

数；
∴x=1为k(x)的极大值点，
∴k(x)≤k(1)=0.
即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.
②由①知lnx≤x－1,又x>0，

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分15分）已知，且（为自然对数的.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.