题文
（本题满分12分）设二次函数
，对任意实数
，有
恒成立；数列
满足
.
（1）求函数
的解析式；
（2）试写出一个区间
，使得当
时，
且数列
是递增数列，并说明理由；
（3）已知
，是否存在非零整数
，使得对任意
，都有
恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）由恒成立等价于
恒成立 ……1分
从而得：
，化简得
，从而得
，
所以
， ………3分
（2）解：若数列
是递增数列，则
即：
………5分又当
时，
，
所以有
且
，所以数列
是递增数列。 …………7分
注：本题的区间也可以是
、
、
、………，等无穷多个.
（3）由（2）知
，从而
；
，
即
； ………8分
令
，则有
且
；
从而有
，可得
，所以数列
是
为首项，公比为
的等比数列，
从而得
，即
，
所以
， ……………………10分
所以
，所以
，
所以，
.………………………11分
即
，所以，
恒成立
（1） 当
为奇数时，即
恒成立，当且仅当
时，
有最小值
为。
（2） 当
为偶数时，即
恒成立，当且仅当
时，有最大值
为。
所以，对任意
，有
。又
非零整数，
…………………12分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本题满分12分）设二次函数，对任意实数.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
