题文
（本小题满分12分）已知定义域为
的函数
满足：①
时，
；②
③对任意的正实数
，都有
（1）求证：
；（2）求证：
在定义域内为减函数；
（3）求不等式
的解集． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解： 因为对任意正实数x,y有f(x.y)=f(x)+f(y)
所以 f(1)=f(1
)=f(1)+f(1)=2f(1)
所以f(1)="0 " ----------------------------2分
（1）所以f(
1)=f(x
)=f(x)+f(
所以f(
f(x) --
--------------------------------5分
（2）设
(0,+
),且
则f(
又由（1）知
f(x)=f(
f(
f(
为（0，
）的减函数----------8分
（3）
f
(1)=f(2
因为
f(10
2x)
f(4)
得3
所以原不等式的解集为
-------------------------12分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知定义域为的函数满.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
