题文
本小题满分12分）已知函数
是偶函数.
(I)证明：对任意实数
，函数
的图象与直线
最多只有一个交点；
(II)若方程
有且只有一个解，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）由函数
是偶函数可得：
即
对一切
恒成立，
……………………………3分
由题意可知，只要证明函数
在定义域
上为单调函数即可.
任取
且
，则
…………5分
，
即
，
……………6分
函数
在
上为单调增函数.
对任意实数
，函数
的图象与直线
最多只有一个交点.………7分
（II）若方程
有且只有一解，
也就是方程
有且只有一个实根，
令
，问题转化为方程：
有且只有一个正根.………8分
（1） 若
，则
，不合题意；…………9分
（2） 若
时，由
或
，当
时，
不合题意；当
时，
；……………10分
（3） 若
时，
，若方程一个正根与一个负根时，则
.
………11分
综上：实数
的取值范围是
.……………12分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“本小题满分12分）已知函数是偶函数.(I.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
