(本题满分16分)(Ⅰ)试比较的大小； (Ⅱ)试比较nn+1与(n+1)n(n∈N+)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.

题文

(本题满分16分)(Ⅰ)试比较

的大小；
(Ⅱ)试比较nⁿ⁺¹与(n+1)ⁿ(n∈N₊)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)由于

，

，则

；
又

，

，则

；
所以

. …………………………………………6分
(Ⅱ)当n=1,2时，有nⁿ⁺¹<(n+1)ⁿ.………………………………………8分
当n≥3时，有n^n+!>(n+1)ⁿ. 证明如下：
令

，

.
又

.
∴a_n+1>a_n即数列{a_n}是一个单调递增数列.
则a_n>a_n-1>…>a₃>1
∴

即nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ. ……………………………………16分
另证：构造函数f(x)=

(x≥3)，f

(x)=

=

，
∴f(x)=

在[3,+∞

为递减函数，则f(n)>f(n+1)，
即

，

，∴

，
即nⁿ⁺¹>(n+1

)ⁿ(n≥3时结论成立).

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“(本题满分16分)(Ⅰ)试比较的大小； .....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.