广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧州市场，在欧债危机的影响下，欧州市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，主动投入内销产品的研制开发，

题文

广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧州市场，在欧债危机的影响下，欧州市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，主动投入内销产品的研制开发，并基本形成了市场规模，自2010年9月以来的第n个月（2010年9月为每一个月），产品的内销量、出口量和销售总量（内销量与出口量的和）分别为b_n、c_n和a_n（单位万件），分析销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_n＋1＝aa_n，c_n＋1＝a_n＋ba

（其中a、b为常数），且a₁＝1万件，a₂＝1.5万件，a₃＝1.875万件.
（1）求a,b的值，并写出a_n＋1与a_n满足的关系式；
（2）如果该企业产品的销售总量a_n呈现递增趋势，且控制在2万件以内，企业的运作正常且不会出现资金危机；试证明：a_n＜a_n＋1＜2.
（3）试求从2010年9月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式. 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）依题意：a_n＋1＝b_n＋1＋c_n＋1＝aa_n＋a_n＋ba

，
又a₂＝aa₁＋a₁＋ba

，∴a＋1＋b＝

……………………①
又a₃＝aa₂＋a₂＋ba

，∴

…………②
解①②得a＝1，b＝－

从而a_n＋1＝2a_n－

a

(n∈N^*)……………………………（4分）
（2）证法（Ⅰ）由于a_n＋1＝2a_n－

a

＝－

(a_n－2)²＋2≤2.
但a_n＋1≠2，否则可推得a₁＝2与a₁＝1矛盾.故a_n＋1＜2，于是a_n＜2，
又a_n＋1－a_n＝－

a

＋2a_n－a_n＝－

a_n(a_n－2)＞0，
所以a_n＋1＞a_n，从而a_n＜a_n＋1＜2.……………………………………………………（9分）
方法（Ⅱ）用数学归纳法
（ⅰ）当n＝1时，a₁＝1，a₂＝1.5，显然a₁＜a₂＜2成立，
（ⅱ）假设n＝k时，a_k＜a_k＋1＜2成立.
由于函数f(x)＝－

x²＋2x＝－

(x－2)²＋2在［0,2］上为增函数，
则f(a_k)＜f(a_k＋1)＜f(2)即

a_k(4－a_k)＜

a_k＋1(4－a_k＋1)＜

×2×(4－2)
即a_k＋1＜a_k＋2＜2成立.综上可得n∈N^*有a_n＜a_n＋1＜2.………………………………（9分）
（3）由a_n＋1＝2a_n－

a

得2(a_n＋1－2)＝－(a_n－2)²，即(2－a_n＋1)＝

(2－a_n)²，
又由（2）知a_n＜a_n＋1＜2，可知2－a_n＋1＞0，2－a_n＞0，
则lg(2－a_n＋1)＝2lg(2－a_n)－lg2，∴lg(2－a_n＋1)－lg2＝2［lg(2－a_n)－lg2］
即{lg(2－a_n＋1)－lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg(2－a₁)－lg2＝－lg2
故lg(2－a_n)－lg2＝(－lg2)·2^n－1，∴a_n＝2－

(n∈N^*)为所求.……………（13分）

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧州市场.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.