题文
（本题共3小题，满分18分。第1小题满分4分，第2小题满分７分，第3小题７分）对定义在
上，并且同时满足以下两个条件的函数
称为
函数．
① 对任意的
，总有
；
② 当
时，总有
成立．
已知函数
与
是定义在
上的函数．
（1）试问函数
是否为
函数？并说明理由；
（2）若函数
是
函数，求实数
的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数
，使方程
恰有两解？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）当
时，总有
满足①……………………………1分
当
时，
满足②………3分
所以函数
为
函数；………………………………………………………4分
（2）因为函数
是
函数，根据①有
，……………6分
根据②有
…………………………………………………7分
因为
，
所以
，
，其中
和
不能同时取到
，
于是
，……………………9分
所以
，即
，……………10分
于是
…………………………………………………………………………11分
另解：因为函数
是
函数，根据①有
，…………6分
根据②有
………………………………8分
取
得
…………………………………………………………10分
于是
…………………………………………………………………………11分
（3）【理科】根据（2）知
，原方程可以化为
，……………12分
由
，……………………………………………………14分
令
，则
，………………………………………15分
由图形可知：当
时，方程有一解；…………………………………16分
当
时，方程无解；…………………………17分
因此，方程不存在两解。………………………………………………………18分
【文科】根据（2）知
，原方程可以化为
，…………………12分
由
，……………………………………………………14分
令
，…………………………………………………………………15分
则
，……………………………………………16分
因此，当
时，方程有解。……………………………………………18分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本题共3小题，满分18分。第1小题满分.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
